01- ejercicio

Modelo Cinemático del Mecanismo de 6 Eslabones

1. Definición de Variables y Constantes

  • a = $10$ (Manivela)
  • b = $24$ (Biela 1)
  • c/2 = $23$ (Semilongitudes del balancín)
  • d = $24$ (Biela 2)
  • h = Magnitud del vector fijo $O_2 \rightarrow O_4$
  • $\theta_h$ = Ángulo del vector fijo $\vec{h}$
    • Nota: $h \cos(\theta_h) = 19$ y $h \sin(\theta_h) = 28$
  • g = Magnitud del vector de posición de la corredera $D$
  • $\theta_g$ = Ángulo del vector de posición $\vec{g}$
    • Nota: $g \cos(\theta_g) = 46.50$ (Posición X constante)
    • Nota: $g \sin(\theta_g) = Y_D$ (Posición vertical variable)

Vector de incógnitas variables:
$$ \mathbf{q} = \begin{bmatrix} \theta_3 \ \theta_4 \ \theta_5 \ Y_D \end{bmatrix} $$

2. Ecuaciones Escalares de Lazo ($f$)

Estas ecuaciones representan el cierre geométrico del mecanismo. Deben igualarse a cero.

Lazo 1 ($O_2 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow O_4$)

Ecuación en X (Cosenos):
$$ f_1 = a \cos(\theta_2) + b \cos(\theta_3) – \frac{c}{2} \cos(\theta_4) – h \cos(\theta_h) = 0 $$

Ecuación en Y (Senos):
$$ f_2 = a \sin(\theta_2) + b \sin(\theta_3) – \frac{c}{2} \sin(\theta_4) – h \sin(\theta_h) = 0 $$

Lazo 2 ($O_4 \rightarrow C \rightarrow D$)

Ecuación en X (Cosenos):
$$ f_3 = h \cos(\theta_h) – \frac{c}{2} \cos(\theta_4) + d \cos(\theta_5) – g \cos(\theta_g) = 0 $$

Ecuación en Y (Senos):
$$ f_4 = h \sin(\theta_h) – \frac{c}{2} \sin(\theta_4) + d \sin(\theta_5) – g \sin(\theta_g) = 0 $$

3. Matriz Jacobiana ($J$)

La matriz Jacobiana agrupa las derivadas parciales de $f_1, f_2, f_3, f_4$ respecto a las variables $\theta_3, \theta_4, \theta_5, Y_D$.

$$ J = \begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial \theta_3} & \frac{\partial f_1}{\partial \theta_4} & \frac{\partial f_1}{\partial \theta_5} & \frac{\partial f_1}{\partial Y_D} \[8pt]\frac{\partial f_2}{\partial \theta_3} & \frac{\partial f_2}{\partial \theta_4} & \frac{\partial f_2}{\partial \theta_5} & \frac{\partial f_2}{\partial Y_D} \[8pt]\frac{\partial f_3}{\partial \theta_3} & \frac{\partial f_3}{\partial \theta_4} & \frac{\partial f_3}{\partial \theta_5} & \frac{\partial f_3}{\partial Y_D} \[8pt]\frac{\partial f_4}{\partial \theta_3} & \frac{\partial f_4}{\partial \theta_4} & \frac{\partial f_4}{\partial \theta_5} & \frac{\partial f_4}{\partial Y_D}\end{bmatrix} $$

Sustituyendo las derivadas analíticas, obtenemos:

$$ J = \begin{bmatrix}-b \sin(\theta_3) & \frac{c}{2} \sin(\theta_4) & 0 & 0 \[6pt]b \cos(\theta_3) & -\frac{c}{2} \cos(\theta_4) & 0 & 0 \[6pt]0 & \frac{c}{2} \sin(\theta_4) & -d \sin(\theta_5) & 0 \[6pt]0 & -\frac{c}{2} \cos(\theta_4) & d \cos(\theta_5) & -1\end{bmatrix} $$
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Iteración Manual: Método de Newton-Raphson

1. Estado Inicial (Iteración 0)

Para iniciar, necesitamos definir un ángulo de entrada y «adivinar» los valores iniciales de nuestras variables.

Nota crucial: Para las derivadas en el Jacobiano, los ángulos deben usarse en radianes.

Datos fijos:

  • $a = 10, b = 24, c/2 = 23, d = 24$
  • $X_{O4} = 19, Y_{O4} = 28, X_D = 46.50$

Entrada:

  • Ángulo del motor: $\theta_2 = 0^\circ = 0 \text{ rad}$ (Por lo tanto $\cos(\theta_2)=1, \sin(\theta_2)=0$)

Estimaciones iniciales (Adivinanza basada en el dibujo):

  • $\theta_3 = 120^\circ \approx 2.094 \text{ rad}$
  • $\theta_4 = 210^\circ \approx 3.665 \text{ rad}$
  • $\theta_5 = 300^\circ \approx 5.236 \text{ rad}$
  • $Y_D = 20$

2. Evaluar las funciones de lazo ($\mathbf{f}$)

Sustituimos nuestros valores iniciales en las ecuaciones originales:

$$ f_1 = 10(1) + 24(-0.5) – 23(-0.866) – 19 = 10 – 12 + 19.918 – 19 = -1.082 $$
$$ f_2 = 10(0) + 24(0.866) – 23(-0.5) – 28 = 0 + 20.784 + 11.5 – 28 = 4.284 $$
$$ f_3 = 19 – 23(-0.866) + 24(0.5) – 46.50 = 19 + 19.918 + 12 – 46.50 = 4.418 $$
$$ f_4 = 28 – 23(-0.5) + 24(-0.866) – 20 = 28 + 11.5 – 20.784 – 20 = -1.284 $$

Nuestro vector de error actual es:
$$ \mathbf{f} = \begin{bmatrix} -1.082 \ 4.284 \ 4.418 \ -1.284 \end{bmatrix} $$
(El objetivo es que estos valores lleguen a ser $0$.)

3. Evaluar la Matriz Jacobiana ($J$)

Evaluamos cada término de nuestra matriz $J$ con los ángulos iniciales:

  • $J_{11} = -b \sin(\theta_3) = -24(0.866) = -20.784$
  • $J_{12} = \frac{c}{2} \sin(\theta_4) = 23(-0.5) = -11.500$
  • $J_{21} = b \cos(\theta_3) = 24(-0.5) = -12.000$
  • $J_{22} = -\frac{c}{2} \cos(\theta_4) = -23(-0.866) = 19.918$
  • $J_{32} = \frac{c}{2} \sin(\theta_4) = -11.500$
  • $J_{33} = -d \sin(\theta_5) = -24(-0.866) = 20.784$
  • $J_{42} = -\frac{c}{2} \cos(\theta_4) = 19.918$
  • $J_{43} = d \cos(\theta_5) = 24(0.5) = 12.000$

La matriz queda así:
$$ J = \begin{bmatrix}-20.784 & -11.500 & 0 & 0 \-12.000 & 19.918 & 0 & 0 \0 & -11.500 & 20.784 & 0 \0 & 19.918 & 12.000 & -1\end{bmatrix} $$

4. Resolver el sistema ($J \cdot \Delta\mathbf{q} = -\mathbf{f}$)

Gracias al bloque de ceros en la esquina superior derecha de $J$, resolvemos primero el Lazo 1 de forma independiente.

Paso 4.1: Resolver Lazo 1 (Matriz 2×2 superior)

$$ \begin{bmatrix} -20.784 & -11.500 \ -12.000 & 19.918 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta\theta_3 \ \Delta\theta_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.082 \ -4.284 \end{bmatrix} $$
(Nota: El lado derecho es $-\mathbf{f}$, por lo que cambiamos los signos de $f_1$ y $f_2$).

Determinante ($Det$):
$$ Det = (-20.784)(19.918) – (-11.500)(-12.000) = -413.975 – 138 = -551.975 $$

Usando la Regla de Cramer:
$$ \Delta\theta_3 = \frac{(1.082)(19.918) – (-11.500)(-4.284)}{-551.975} = \frac{21.551 – 49.266}{-551.975} = \frac{-27.715}{-551.975} = 0.050 \text{ rad} $$

$$ \Delta\theta_4 = \frac{(-20.784)(-4.284) – (1.082)(-12.000)}{-551.975} = \frac{89.038 + 12.984}{-551.975} = \frac{102.022}{-551.975} = -0.185 \text{ rad} $$

Paso 4.2: Resolver Lazo 2 (Sustitución hacia abajo)

Ahora que conocemos $\Delta\theta_4$, usamos la fila 3 de la matriz:
$$ 0(\Delta\theta_3) + J_{32}(\Delta\theta_4) + J_{33}(\Delta\theta_5) + 0(\Delta Y_D) = -f_3 $$
$$ (-11.500)(-0.185) + 20.784(\Delta\theta_5) = -4.418 $$
$$ 2.127 + 20.784(\Delta\theta_5) = -4.418 $$
$$ 20.784(\Delta\theta_5) = -6.545 \quad \implies \quad \Delta\theta_5 = -0.315 \text{ rad} $$

Finalmente, usamos la fila 4 de la matriz:
$$ 0(\Delta\theta_3) + J_{42}(\Delta\theta_4) + J_{43}(\Delta\theta_5) + (-1)(\Delta Y_D) = -f_4 $$
$$ 19.918(-0.185) + 12.000(-0.315) – \Delta Y_D = 1.284 $$
$$ -3.685 – 3.780 – \Delta Y_D = 1.284 $$
$$ -\Delta Y_D = 1.284 + 7.465 = 8.749 \quad \implies \quad \Delta Y_D = -8.749 $$

5. Actualizar los valores (Fin de la Iteración 1)

Sumamos los $\Delta$ a nuestras estimaciones originales:

  • $\theta_3 = 2.094 + 0.050 = \mathbf{2.144 \text{ rad}} \quad (122.8^\circ)$
  • $\theta_4 = 3.665 – 0.185 = \mathbf{3.480 \text{ rad}} \quad (199.4^\circ)$
  • $\theta_5 = 5.236 – 0.315 = \mathbf{4.921 \text{ rad}} \quad (281.9^\circ)$
  • $Y_D = 20 – 8.749 = \mathbf{11.251}$
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Como puedes ver, al aprovechar el desacoplamiento de la matriz Jacobiana, la resolución a mano es un proceso de álgebra de secundaria (matrices 2×2 y despejes simples) en lugar de una pesadilla de álgebra lineal avanzada.

Con estos nuevos valores ($\theta_3, \theta_4, \theta_5, Y_D$), el siguiente paso sería volver a calcular $f_1, f_2, f_3, f_4$. Verás que los resultados ya no serán $4.4$ o $-1.2$, sino que estarán mucho más cerca de $0$. Normalmente, tras 3 o 4 iteraciones, el error es tan minúsculo (ej. $0.000001$) que damos el sistema por resuelto.